Blocco II · La matematica del denaro · Modulo 7 # Interesse, interesse composto, capitalizzazione ## Capitoli 1. L'interesse semplice 2. L'interesse composto 3. La capitalizzazione: ogni quanto si aggiungono gli interessi 4. La regola del 72 5. Risparmiare ogni mese: la forza del tempo 6. Dentro un prestito: la rata costante (annuità) e il TAEG 7. Il tasso di interesse reale: nominale meno inflazione 8. L'euro di oggi e l'euro di domani 9. La matematica delle truffe → Il principio di ferro del modulo --- ## Per i più piccoli · 6–7 anni 🐣 **I più piccoli:** se tieni le tue monetine per molto tempo, a volte se ne aggiungono altre. Questo aggiungere si chiama interesse. Poi le monete nuove ne portano altre ancora. Come una palla di neve che rotola e cresce. Più rotola, più diventa grande. **Giocate insieme (5 minuti):** metti 2 bottoni in una ciotola. Ogni giorno aggiungi un bottone nuovo ogni due bottoni che ci sono nella ciotola. Contate insieme per 5 giorni: 2, 3, 4, 6, 9, 13 — la ciotola cresce sempre più in fretta. **Una domanda per la sera:** «Che cosa aspetteresti a lungo, perché diventi di più?» **Un gioco dal catalogo:** LV-01 «L'albero della pazienza» — https://pecuvo.eu/igri/katalog/#lv-01 (in bulgaro) --- ## Capitolo 1 · L'interesse semplice **Formula:** interesse = capitale × tasso di interesse × anni. 👧 **Bambino/a:** presti 100 € e ogni anno ricevi 5 € in più, sempre 5 €. Questo è l'**interesse semplice**. 🧑 **Adolescente:** **1.000 € al 5 % l'anno per 3 anni** → interesse 150 € → totale **1.150 €**. L'interesse è calcolato sempre solo sulla somma iniziale. 🧔 **Adulto:** l'interesse semplice si applica ad alcuni prestiti a breve termine e alle obbligazioni che pagano ogni anno l'interesse (la cedola) invece di aggiungerlo al capitale. Se l'interesse non viene reinvestito, non «genera» nuovo interesse. **Scena per il 3D:** un mucchietto di monete che cresce ogni anno di un cubo sempre uguale. --- ## Capitolo 2 · L'interesse composto **Formula:** somma finale = capitale × (1 + tasso di interesse)^anni. 👧 **Bambino/a:** l'interesse si aggiunge al denaro e l'anno dopo produce a sua volta interesse. Come una palla di neve che rotola e diventa sempre più grande. 🧑 **Adolescente:** **1.000 € al 5 % l'anno per 10 anni → 1.628,89 €**. Con l'interesse semplice sarebbero 1.500 €. La differenza di 128,89 € è «interesse sull'interesse», e con gli anni cresce sempre più in fretta. 🧔 **Adulto:** l'interesse composto è alla base sia del risparmio sia del debito. La stessa formula che fa crescere i risparmi fa raddoppiare un debito costoso non pagato. Il tempo è la variabile più forte: non la percentuale, ma **per quanto tempo**. **Mito → verità** - Mito: «La differenza tra il 5 e il 7 % è piccola.» - Verità: in 30 anni 1.000 € diventano 4.321,94 € al 5 % e 7.612,26 € al 7 %, quasi il doppio. Piccole percentuali fanno una grande differenza nel tempo. **A chi conviene?** A chi sta dal lato giusto dell'esponenziale: ai risparmiatori, quando si risparmia; a chi presta, quando si tratta di debito. **Scena per il 3D:** una palla di neve su un pendio. Il bambino sceglie l'inclinazione (il tasso di interesse) e la lunghezza del pendio (gli anni) e guarda la palla diventare una casa. **Il tuo passo in Pecuvo:** in «Obiettivi», quanto avrai al tasso X per Y anni, mostrato in un grafico. --- ## Capitolo 3 · La capitalizzazione: ogni quanto si aggiungono gli interessi **Formula:** somma finale = capitale × (1 + tasso annuo / n)^(n × anni), dove n è quante volte all'anno si aggiunge l'interesse. 👧 **Bambino/a:** se l'interesse si aggiunge ogni mese e non una volta all'anno, il denaro cresce un po' più in fretta, perché l'interesse comincia a «lavorare» prima. 🧑 **Adolescente:** **1.000 € al 12 % l'anno per 1 anno:** | Ogni quanto si aggiunge l'interesse | Somma finale | Tasso annuo effettivo | |---|---|---| | una volta all'anno | 1.120,00 € | 12,00 % | | ogni trimestre | 1.125,51 € | 12,55 % | | ogni mese | 1.126,83 € | 12,68 % | | ogni giorno | 1.127,47 € | 12,75 % | | in modo continuo | 1.127,50 € | 12,75 % | 🧔 **Adulto:** per questo, quando si confronta, conta il **tasso annuo effettivo**, non quello pubblicizzato (nominale). Due offerte al «12 %» possono essere diverse se una capitalizza ogni mese e l'altra ogni anno. Con un prestito vale lo stesso, ma a tuo svantaggio. **La seconda «capitalizzazione»:** in borsa, «capitalizzazione» significa anche **il valore di mercato di una società**: il prezzo di un'azione per il numero di azioni. Un concetto diverso, la stessa parola. In Pecuvo chiariamo sempre il contesto. **Mito → verità** - Mito: «Il 12 % è il 12 %.» - Verità: dipende da ogni quanto viene aggiunto. Confronta i tassi effettivi. **A chi conviene?** A chi conosce la differenza. Le pubblicità spesso mostrano il numero più bello. **Scena per il 3D:** un orologio fatto di monete. Più spesso l'orologio «suona» (capitalizzazione), più monetine si aggiungono. Il bambino confronta gli orologi. --- ## Capitolo 4 · La regola del 72 **Formula (approssimata):** anni per raddoppiare ≈ 72 ÷ il tasso di interesse. 👧 **Bambino/a:** se conosci la percentuale, puoi dire in fretta dopo quanti anni il denaro raddoppierà. 🧑 **Adolescente:** - **al 6 %** → 72 ÷ 6 = **12 anni** (esatto: 11,90); - **al 9 %** → **8 anni** (esatto: 8,04). Funziona anche al contrario: con un'inflazione del 3 %, i prezzi raddoppiano in circa 24 anni. 🧔 **Adulto:** la regola è un'approssimazione ed è più precisa con tassi intorno al 6–10 %. Si usa come controllo rapido delle offerte: se qualcuno promette «il doppio in 2 anni», sono circa il 41 % all'anno (la regola del 72 dà circa il 36 %, ma con tassi così alti non è precisa). Chiedi da dove viene. **Scena per il 3D:** due torri di sabbia. Il bambino sceglie una percentuale e guarda quando la torre diventa alta il doppio. --- ## Capitolo 5 · Risparmiare ogni mese: la forza del tempo 👧 **Bambino/a:** se metti da parte un po' ogni settimana, quello che raccogli cresce non solo con le tue monete, ma anche con gli interessi su di esse. 🧑 **Adolescente:** **100 € al mese al 5 % l'anno** (interesse aggiunto ogni mese): | Quanti anni | Versato | Alla fine | |---|---|---| | 10 anni | 12.000 € | 15.528,23 € | | 20 anni | 24.000 € | 41.103,37 € | Raddoppiando gli anni, la somma finale più che raddoppia. 🧔 **Adulto:** per questo «paga prima te stesso» (Modulo 8, principio 1) funziona meglio se si comincia presto. Dieci anni prima significa non «un po' di più» ma spesso **molto** di più. Questa è matematica, non un consiglio su un prodotto. Il rendimento dipende da dove si trova il denaro e con quale rischio (Modulo 3). **Il tuo passo in Pecuvo:** un obiettivo «risparmio» con un versamento mensile: Pecuvo mostra la curva. --- ## Capitolo 6 · Dentro un prestito: la rata costante (annuità) e il TAEG **Formula della rata mensile costante (annuità):** rata = importo × i ÷ (1 − (1 + i)^−n), dove i è il tasso di interesse mensile e n è il numero di mesi. 👧 **Bambino/a:** quando prendi in prestito e restituisci a rate, ogni rata è un po' di denaro per l'interesse e un po' per il prestito stesso. 🧑 **Adolescente:** **10.000 € in 36 mesi:** | Tasso di interesse annuo | Rata mensile | Totale restituito | Di cui interessi | |---|---|---|---| | 6 % | 304,22 € | 10.951,90 € | 951,90 € | | 20 % | 371,64 € | 13.378,89 € | 3.378,89 € | All'inizio la maggior parte della rata è interesse, alla fine è capitale. 🧔 **Adulto:** il tasso di interesse non è tutto il prezzo. Il **TAEG (tasso annuo effettivo globale)** comprende gli interessi **e** le spese e le commissioni. Secondo il diritto dell'UE è obbligatorio nella pubblicità e nelle offerte di credito ai consumatori ✔. La nuova Direttiva (UE) 2023/2225 relativa ai contratti di credito ai consumatori lo richiede nella pubblicità (articolo 8, paragrafo 3), stabilisce come si calcola (articolo 30) e obbliga gli Stati membri ad avere misure contro i costi eccessivi, per esempio massimali sul tasso di interesse, sul TAEG o sul costo totale del credito (articolo 31); si applica dal 20.11.2026 ✔. Confronta il TAEG e l'importo totale da restituire, non la rata mensile. Allungare la durata rende la rata più piccola, ma il prezzo totale più alto. > **Esempio: Bulgaria** — ✔ Secondo la Legge sul credito al consumo in vigore, il TAEG non può essere superiore a **cinque volte l'interesse legale** sui ritardi di pagamento (articolo 19, paragrafo 4). Attenzione: il 23.09.2026 il parlamento ha adottato in prima lettura una nuova legge (che recepisce la Direttiva 2023/2225). Mantiene il tetto, ma non per i prestiti fino a tre salari minimi mensili ⚠ — il testo definitivo va verificato dopo la seconda lettura. > > **Verifica nel tuo Paese** — Il tuo Paese pone un tetto al TAEG, al tasso di interesse o al costo totale del credito? E come si calcola il tetto? Guarda presso l'autorità di tutela dei consumatori o l'autorità di vigilanza finanziaria. Chiedi al finanziatore il modulo europeo standard (SECCI): mostra il TAEG e l'importo totale dovuto allo stesso modo in ogni Paese dell'UE. **Mito → verità** - Mito: «La rata è bassa, quindi il prestito costa poco.» - Verità: una rata bassa spesso significa una durata lunga e molti interessi. Guarda il totale restituito. **A chi conviene?** A chi presta, per la durata e per le spese. La pubblicità mostra la rata, non il totale. **Scena per il 3D:** un puzzle fatto di rate mensili. Ogni tassello è diviso in rosso (interessi) e blu (capitale). All'inizio c'è più rosso. **Il tuo passo in Pecuvo:** ogni prestito è un conto «debito». Un obiettivo «rimborso» mostra quanto resta e per quanti mesi. **Fonti** - ✔ Direttiva (UE) 2023/2225 — il TAEG nella pubblicità (articolo 8, paragrafo 3), il suo calcolo (articolo 30), misure contro i costi eccessivi, ad es. massimali (articolo 31); si applica dal 20.11.2026: https://eur-lex.europa.eu/eli/dir/2023/2225/oj - ✔ Esempio Bulgaria: Legge sul credito al consumo, articolo 19, paragrafo 4 — «Il tasso annuo effettivo globale non può essere superiore a cinque volte l'interesse legale sui ritardi di pagamento in euro e in valuta estera…» (testo consolidato con le modifiche fino alla Gazzetta ufficiale n. 87 del 24.09.2026, aperto il 21.10.2026) · ⚠ nuovo progetto di legge, prima lettura 23.09.2026 — eccezione per i prestiti fino a 3 salari minimi: solo da una notizia di stampa (https://taralej.bg/politika/parlamentat-ogranichi-gpr-po-kreditite-do-pet-pati-razmera-na-zakonnata-lihva, in bulgaro); la pagina del progetto su parliament.bg non si è aperta — da verificare dopo la seconda lettura. --- ## Capitolo 7 · Il tasso di interesse reale: nominale meno inflazione **Formula:** tasso reale = (1 + nominale) ÷ (1 + inflazione) − 1 (in modo approssimato: nominale − inflazione). 👧 **Bambino/a:** se la banca ti dà 2 € in più, ma il gelato aumenta di 3 €, in realtà puoi comprare di meno. 🧑 **Adolescente:** **un deposito al 2 % con inflazione al 3 % → tasso di interesse reale −0,97 %.** La somma cresce sulla carta, ma compra di meno. 🧔 **Adulto:** questa è la seconda delle domande dei «Big Three» (l'inflazione). Con un'inflazione moderata, intorno al 2 % (l'obiettivo della BCE — Modulo 4), il denaro che non rende almeno così perde valore in termini reali. Non è un motivo di panico, ma un motivo per sapere: ogni somma va confrontata con l'inflazione. **Scena per il 3D:** due treni su binari paralleli: «i miei soldi» e «i prezzi». Il bambino vede quale dei due va più avanti. --- ## Capitolo 8 · L'euro di oggi e l'euro di domani **Formula:** valore attuale = somma futura ÷ (1 + r)^anni. 👧 **Bambino/a:** 10 € oggi valgono più di 10 € che avrai tra un anno, perché oggi puoi usarli. 🧑 **Adolescente:** **1.000 € tra 10 anni, al 3 % l'anno, valgono oggi circa 744,09 €.** Per questo «ti pago dopo» ha un prezzo. 🧔 **Adulto:** il **valore temporale del denaro** è alla base di ogni valutazione: di un prestito, di un investimento, di un progetto. Spiega perché un pagamento in ritardo su un progetto (Modulo 11) costa denaro e perché «il profitto non è liquidità» (Modulo 8, principio 8). **Scena per il 3D:** un telescopio puntato sul futuro. Più il bambino guarda lontano, più la stessa moneta appare piccola. --- ## Capitolo 9 · La matematica delle truffe 👧 **Bambino/a:** se qualcuno ti promette che il tuo denaro raddoppierà ogni settimana, chiedi: «Da dove viene?» Se non c'è risposta, è una trappola. 🧑 **Adolescente:** **«Solo il 2 % al giorno»** sembra poco. In un anno: 1.000 € × 1,02³⁶⁵ ≈ **1.377.408 €**. Nessuna attività reale lo fa. **«Il 10 % al mese»** in un anno è ×3,14. L'interesse composto mostra che queste promesse **non possono durare**. Si pagano solo con il denaro di nuovi investitori: è uno schema Ponzi (Modulo 17). 🧔 **Adulto:** la regola del 72 e la formula dell'interesse composto sono il rilevatore di truffe più rapido. Un rendimento promesso alto, **senza** una fonte chiara, **senza** rischio e **con** la pressione del «solo oggi» è la ricetta classica. Il motto del Modulo 17: *«Il libro "Come arricchirsi in fretta" si vende insieme al Codice penale.»* **Scena per il 3D:** un palloncino che il bambino gonfia con il «2 % al giorno». Il palloncino cresce in modo irrealistico e scoppia. Dentro, niente. **→ Continua alla fonte** - L'autorità di vigilanza finanziaria del tuo Paese di solito pubblica un elenco delle società prive di licenza e gli avvertimenti su di esse: controlla lì prima di pagare. - Esempio: Bulgaria — Commissione di vigilanza finanziaria (FSC), elenco delle società senza licenza: https://www.fsc.bg/spisak-na-druzhestva-bez-litsenz/ ✔ · per le cripto-attività: https://www.fsc.bg/za-potrebitelya/preduprezhdeniya-za-potrebitelite/ot-komisiata-za-finansov-nadzor/spisak-na-litsata-koyto-ne-sa-litsenzirani-i-nyamat-pravo-da-predostavyat-uslugi-s-kriptoaktivi/ (entrambi in bulgaro) --- ## Il principio di ferro del modulo > **Il tempo moltiplica tutto, sia i risparmi sia i debiti. Prima di firmare, calcola la somma finale, non solo la percentuale e la rata.** - 👧 Bambino/a: «Quanto avrò alla fine?» - 🧑 Adolescente: prima di un prestito o di «compra ora, paga dopo»: quanto restituisco **in totale**? - 🧔 Adulto: confronta il tasso annuo effettivo e il TAEG. Se un rendimento promesso raddoppia il denaro più in fretta di quanto permetta la regola del 72, senza una fonte chiara: scappa. **Il tuo passo in Pecuvo:** in «Obiettivi», guarda la curva del risparmio. In «Debito», quanto interesse resta. Fai il calcolo una volta, prima di firmare. ## Mettiti alla prova (3 domande per livello) - 👧 1. Qual è la differenza tra interesse semplice e interesse composto? 2. Perché è bene cominciare presto a risparmiare? 3. Che cosa chiederai se qualcuno promette «il doppio ogni settimana»? - 🧑 1. In quanto si trasformano 1.000 € al 5 % in 10 anni? 2. Che cosa dice la regola del 72 al 9 %? 3. Perché un prestito con una rata più bassa può costare di più? - 🧔 1. Perché confrontiamo il tasso effettivo e non quello nominale? 2. Qual è il tasso di interesse reale con il 2 % nominale e il 3 % di inflazione? 3. Perché «il 2 % al giorno» è matematicamente impossibile da sostenere? ## Fonti - ✔ Stango & Zinman, «Exponential Growth Bias and Household Finance», Journal of Finance 64 (2009), 2807–2849, DOI 10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x - ✔ GFLEC — i «Big Three»: https://gflec.org/education/questions-that-indicate-financial-literacy/ - ✔ Direttiva (UE) 2023/2225 (il TAEG) — https://eur-lex.europa.eu/eli/dir/2023/2225/oj - ✔ Esempio Bulgaria: Legge sul credito al consumo, articolo 19, paragrafo 4 — tetto al TAEG di 5 × l'interesse legale (il testo della legge, aperto il 21.10.2026) · ⚠ la nuova legge (prima lettura 23.09.2026, da una notizia di stampa) — da verificare dopo l'adozione. - I calcoli — Pecuvo, 19.10.2026: 1.150; 1.628,89; 4.321,94 / 7.612,26; 1.120,00 / 1.125,51 / 1.126,83 / 1.127,47 / 1.127,50; 11,90 / 8,04 anni; 15.528,23 / 41.103,37; 304,22 / 371,64 (951,90 / 3.378,89); −0,97 %; 744,09; 1.377.408; ×3,14. [Scheda didattica per insegnanti — stampabile (in inglese)](https://pecuvo.eu/en/teachers/interest-compounding-capitalisation/)